2019年秋高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算学案 新人教A版必修5

发布于:2021-11-27 15:52:33

哈哈哈哈 哈哈哈 哈哈和

第 3 课时 三角形中的几何计算
学*目标:1.掌握三角形的面积公式的应用(重点).2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的 综合应用(难点). [自 主 预 *·探 新 知] 1.三角形的面积公式 1 1 1 (1)S= a·ha= b·hb= c·hc(ha,hb,hc 分别表示 a,b,c 边上的高); 2 2 2 1 1 1 (2)S= absin C= bcsin_A= casin_B; 2 2 2 1 (3)S= (a+b+c)·r(r 为内切圆半径). 2 思考:(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗? (2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗? [提示] (1)适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立.(2)能.利用正弦定理或余弦 定理求出另外的边或角,再根据面积公式求解. 2.三角形中常用的结论 (1)A+B=π -C,

A+B π
2 =

- ; 2 2

C

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形的诱导公式 sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,

? π? tan(A+B)=-tan_C?C≠ ?, 2? ?
sin cos

A+B A+B
2

=cos , 2 2 =sin . 2 [基础自测]

C C

1.思考辨析 1 (1)公式 S= absin C 适合求任意三角形的面积.( 2 (2)三角形中已知三边无法求其面积.( ) ) )

(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.( [答案] (1)√ (2)× (3)√

提示:已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角,然后再求面积故(2)错.
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2.下列说法中正确的是________(填序号). (1)已知三角形的三边长为 a,b,c,内切圆的半径为 r,则三角形的面积 S=(a+b+c)r; (2)在△ABC 中,若 c=b=2,S△ABC= 3,则 A=60°; (3)在△ABC 中,若 a=6,b=4,C=30°,则 S△ABC 的面积是 6; (4)在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 A=B. 【导学号:91432075】 1 (3) [(1)中三角形的面积 S= (a+b+c)r. 2 1 3 (2)由 S= bcsin A 可得 sin A= ,∴A=60°或 120°. 2 2 π (4)在△ABC 中由 sin 2A=sin 2B 得 A=B 或 A+B= .] 2 3.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积________.

a b 1 9 3 [由题知 A=180°-120°-30°=30°,由 = 知 b=6,∴S= absin C= sin A sin B 2
18× 3 =9 3.] 2

4.在△ABC 中,ab=60,S△ABC=15 3,△ABC 的外接圆半径为 3,则边 c 的长为________. 【导学号:91432076】 3 1 3 [由题知 S△ABC= absin C=15 3得 sin C= . 2 2

c 3 又由 =2R 得 c=2 3× =3.] sin C 2
[合 作 探 究·攻 重 难]

三角形面积的计算 π 4 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cos A= ,b= 3. 3 5 (1)求 sin C 的值; (2)求△ABC 的面积. [解] (1)∵角 A,B,C 为△ABC 的内角, π 4 且 B= ,cos A= , 3 5 2π 3 ∴C= -A,sin A= . 3 5

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∴sin C=sin?

?2π -A?= 3cos A+1sin A=3+4 3. ? 2 2 10 ? 3 ?

3 3+4 3 (2)由(1)知 sin A= ,sin C= . 5 10 π 又∵B= ,b= 3, 3 ∴在△ABC 中,由正弦定理得 a=

bsin A 6 = . sin B 5

1 1 6 3+4 3 36+9 3 ∴△ABC 的面积 S= absin C= × × 3× = . 2 2 5 10 50 [规律方法] 1.由于三角形的面积公式有三种形式,实际使用时要结合题目的条件灵活运用,若三角形 的面积已知,常选择已知的那个面积公式. 2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积,否则先用正、余弦定理求出需要的边或角,再 套用公式计算. [跟踪训练] 1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b +c -a =8,求△ABC 的面积. [解] 由 bsin C+csin B=4asin Bsin C 得 sinBsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C, 1 b +c -a 8 3 2 2 2 因为 sin Bsin C≠0,所以 sin A= .因为 b +c -a =8,cos A= ,所以 bc= ,所 2 2bc 3 1 1 8 3 1 2 3 以 S△ABC= bcsin A= × × = . 2 2 3 2 3
2 2 2 2 2 2

三角恒等式证明问题 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 证明:

a2-b2 = c2

A-B . sin C

思路探究:由左往右证,可由边化角展开;由右往左证,可由角化边展开. [证明] 法一:(边化角)由余弦定理

a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
∴a -b =b -a -2bccos A+2accos B, 整理得:
2 2 2 2

a2-b2 acos B-bcos A = . c2 c

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a sin A b sin B 依正弦定理有 = , = , c sin C c sin C


a2-b2 sin Acos B-sin Bcos A = = c2 sin C A-B sin C

A-B . sin C

法 二: ( 角化边 )

a2+c2-b2 b2+c2-a2 a· - ·b 2ac 2bc sin AcosB-cos Asin B = = = sin C c

a2-b2 a2-b2 = 2 . 2 2c c
[规律方法] 1.三角恒等式证明的三个基本原则: (1)统一边角关系. (2)由繁推简. (3)目标明确,等价转化. 2.三角恒等式证明的基本途径: (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系,然后进行化简、变形. (2)把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理,然后利用三角函数公式进行恒等变 形. [跟踪训练] cos B c-bcos A 2.在△ABC 中,求证: = . cos C b-ccos A 【导学号:91432078】 [证明] 由正弦定理得右边 = 2Rsin C-2Rsin Bcos A 2Rsin B-2Rsin Ccos A =

A+B -sin Bcos A A+C -sin Ccos A



sin Acos B+cos Asin B-sin Bcos A sin AcosB cos B = = =左边. sin Acos C+cos Asin C-sin Ccos A sin Acos C cos C ∴原等式成立.

解三角形中的综合问题 [探究问题] 1.如图 1?2?35 所示,图中共有几个三角形?线段 AD 分别是哪些三角形的边,∠B 是哪些三 角形的内角?

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图 1?2?35 提示:在图形中共有三个三角形,分别为△ABC,△ABD,△ADC;线段 AD 是△ADC 与△ABD 的公共边,∠B 既是△ABC 的内角,又是△ABD 的内角. 2.在探究 1 中,若 sin B=sin ∠ADB,则△ABD 是什么形状的三角形?在此条件下若已知

AB=m,DC=n,如何求出 AC?
提示:若 sin B=sin ∠ADB,则△ABD 为等腰三角形,在此条件下,可在△ABD 中先求出 AD, 然后利用余弦定理在△ADC 中求出 AC,也可以在△ABD 中先求出 BD,然后在△ABC 中,利用余弦 定理求出 AC. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 A= =a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 【导学号:91432079】 思路探究:(1)先由正弦定理化边为角,再化简已知三角形即证. (2)结合第(1)问可直接求出 B,C,再利用面积公式求值;也可以作辅助线导出 b,c 的大小 关系,再由余弦定理求值,最后用面积公式求解. [解] (1)证明:由 bsin? π ?π ? ?π ? , bsin? +C?-csin? +B? 4 4 ? ? ?4 ?

?π +C?-csin?π +B?=a,应用正弦定理, ? ?4 ? ?4 ? ? ?

?π ? ?π ? 得 sin Bsin? +C?-sin Csin? +B?=sin A, ?4 ? ?4 ?
所以 sin B? 2 2 2 2 ? 2 ? sin C+ cos C?-sin C sin B+ cos B= , 2 2 2 2 2 ? ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1, 3 3 π 因为 0<B< π ,0<C< π ,从而 B-C= . 4 4 2 3π 5π π (2)因 B+C=π -A= ,所以 B= ,C= . 4 8 8 π asin B 5π asin C π 1 由 a= 2, A= 得 b= =2sin , c= =2sin , 所以△ABC 的面积 S= bcsin 4 sin A 8 sin A 8 2

A= 2sin

5π π π π 1 ·sin = 2cos sin = . 8 8 8 8 2

π ?π ? ?π ? 母题探究:(变条件,变结论)将例题中的条件“A= ,bsin? +C?-csin? +B?=a”改 4 ?4 ? ?4 ? 为“△ABC 的面积 S= 3 2 2 2 (a +b -c )”.求: 4
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(1)角 C 的大小; (2)求 sin A+sin B 的最大值. 1 3 [解] (1)由题意可知 absin C= ×2abcos C. 2 4 所以 tan C= 3,因为 0<C<π , π 所以 C= . 3 π? ? (2)由已知 sin A+sin B=sin A+sin?π -A- ? 3? ? =sin A+sin? =sin A+

?2π -A? ? ? 3 ?

3 1 cos A+ sin A 2 2

2π ? ? π? ? = 3sin?A+ ?≤ 3?0<A< ?, 6? 3 ? ? ? π 当 A= ,即△ABC 为等边三角形时取等号. 3 所以 sin A+sin B 的最大值为 3. [规律方法] 1.解三角形综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三 角函数,三角恒等变换,*面向量等知识,因此掌握正、余弦定理,三角函数的公式及性质是解 题关键. 2.三角形问题中,涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用. [当 堂 达 标·固 双 基] 1. (2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若△ABC 的面积为 则 C=( A. C. C π 2 π 4 ) B. D. π 3 π 6
2 2 2

a2+b2-c2
4



1 a +b -c 1 2 2 2 [因为 S△ABC= absin C,所以 = absin C.由余弦定理 a +b -c =2abcos C, 2 4 2

π 得 2abcos C=2absin C,即 cos C=sin C,所以在△ABC 中,C= .故选 C.] 4 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC 的外接圆直径为( )
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A.4 3 C

B.60

C.5 2

D.6 2

1 1 2 [∵S△ABC= ac·sin B= c·sin 45°= c=2, 2 2 4

∴c=4 2, ∴b =a +c -2accos 45°=25, ∴b=5. ∴△ABC 的外接圆直径为 =5 2.] sin B ) 【导学号:91432081】 A.(- 2, 2) C.(1, 2) D B.[- 2, 2] D.(1, 2]
2 2 2

b

3.设 A 是△ABC 中最小的内角,则 sin A+cos A 的取值范围是(

? π? [sin A+cos A= 2sin?A+ ?. 4? ?

∵A 为△ABC 中最小内角, 7 ? π ?π ? π? ∴A∈?0, ?,∴A+ ∈? , π ?, 3? 4 ? 4 12 ? ?

? π? ? 2 ? ∴sin?A+ ?∈? ,1?, 4? ? 2 ? ?
∴sin A+cos A∈(1, 2].] π 4. 在△ABC 中, 已知 B= , D 是 BC 边上一点, AD=10, AC=14, DC=6, 则 AB 的长为________. 4 5 6 [在△ADC 中,∵AD=10,AC=14,DC=6,

AD2+DC2-AC2 102+62-142 1 ∴cos∠ADC= = =- . 2AD·DC 2×10×6 2
2π 又∵∠ADC∈(0,π ),∴∠ADC= , 3 π ∴∠ADB= . 3 在△ABD 中,由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B 3 10× 2 AD·sin∠ADB ∴AB= = =5 6.] sin B 2 2 5.已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B;
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AB

AD

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(2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积. 【导学号:91432082】 [解] (1)由题设及正弦定理可得 b =2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B= (2)由(1)知 b =2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a +c =b , 故 a +c =2ac,进而可得 c=a= 2. 1 所以△ABC 的面积为 × 2× 2=1. 2
2 2 2 2 2 2 2

a2+c2-b2 1 = . 2ac 4

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