2019-2020学年北京市房山区九年级上册期末数学试卷(有答案)-优选

发布于:2021-09-19 06:05:05

2019-2020 学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(每小题 2 分,共 16 分) 1.已知点(﹣1,2)在二次函数 y=ax2 的图象上,那么 a 的值是( )

A.1

B.2

C.

D.﹣

2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,那么 sinA 的值为( )

A.

B.

C.

D.1

3.如图,在△ABC 中,M、N 分别为 AC、BC 的中点,若 S△CMN=1,则 S△ABC 为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4.如图,在高 2m,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要( )

A.2 m

B.(2+2 )m C.4m

D.(4+2 )m

5.如图,点 P 在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,PA⊥x 轴于点 A,△PAO 的面积为

2,则 k 的值为( )

A.1

B.2

C.4

D.6

6.如图,在△ABC 中,∠ACD=∠B,若 AD=2,BD=3,则 AC 的长为( )

A.

B.2

C.

D.6

7.如图,在⊙O 中, = ,∠AOB=50°,则∠ADC 的度数是( )

A.50°

B.40°

C.30°

D.25°

8.小明以二次函数 y=2x2﹣4x+8 的图象为灵感为“2017 北京?房山国际葡萄酒大赛”设

计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE 为( )

A.14

B.11

C.6

D.3

二、填空题(每小题 2 分,共 16 分)

9.请写出一个开口向下,并且与 y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式



10.如图所示,圆 O 的半径为 5,AB 为弦,OC⊥AB,垂足为 E,如果 CE=2,那么 AB

的长是



11.如图 1,西沙河属马刨泉河支流,发源于房山区城关街道迎风坡村,流域面积 11 * 方公里,为估算西沙河某段的宽度,如图 2,在河岸边选定一个目标点 A,在对岸取

点 B、C、D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A、E、D 在同一条直

线上,若测得 BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度 AB 等于

m.

12.如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(﹣2,4),B(1,1),

则关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为



13.如图,“吃豆小人”是一个经典的游戏形象,它的形状是一个扇形,若开口∠1=60°,

半径为 ,则这个“吃豆小人”(阴影图形)的面积为



14.如图,每个小正方形的边长为 1,A、B、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的正弦值





15.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为

x1=

,x2=

,则此二次函数图象的对称轴为



16.下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程. 已知:⊙O.

求作:⊙O 的内接正方形.

作法:如图.

(1)过圆心 O 作直线 AC,与⊙O 相交于 A、C 两点;

(2)过点 O 作直线 BD⊥AC,交⊙O 于 B、D 两点;

(3)连接 AB、BC、CD、DA.

∴四边形 ABCD 为所求.

请回答:该尺规作图的依据是

(写出两条).

三、解答题(本题共 68 分) 17.(5 分)计算: tan30°﹣cos60°+sin45°.
18.(5 分)下表是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分 x、y 的对应值:

x … ﹣1 ﹣

0

1

2

3…

y …m

﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1

2…

(1)二次函数图象的顶点坐标是



(2)当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时,n 的取值范围是



19.(5 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=∠BDC.

(1)求证:△ABD∽△DCB;

(2)若 AB=12,AD=8,CD=15,求 DB 的长.

20.(5 分)如图,是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象.

(1)结合图象信息,求此二次函数的表达式;

(2)当 y>0 时,直接写出 x 的取值范围:



21.(5 分)如图,已知⊙O 中,AB 为直径,AB=10cm,弦 AC=6cm,∠ACB 的*分线 交⊙O 于 D,求线段 BC,AD,BD 的长.
22.(5 分)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,BC=8,D 是 AB 中点,过点 B 作 直线 CD 的垂线,垂足为点 E.
(1)求线段 CD 的长; (2)求 cos∠ABE 的值.

23.(5 分)反比例函数 y= (k≠0)与一次函数 y=﹣x+5 的一个交点是 A(1,n).

(1)求反比例函数 y= (k≠0)的表达式;

(2)当一次函数的函数值大于反比例函数值时,直接写出自变量 x 的取值范围为



24.(5 分)中国高铁*年来用震惊世界的速度不断发展,已成为当代中国一张耀眼的“国 家名片”,修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥,如图,某高铁在修建时需打通一 直线隧道 MN(M、N 为山的两侧),工程人员为了计算 M、N 两点之间的直线距离, 选择了在测量点 A、B、C 进行测量,点 B、C 分别在 AM、AN 上,现测得 AM=1200 米,AN=2000 米,AB=30 米,BC=45 米,AC=18 米,求直线隧道 MN 的长.

25.(5 分)已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣2,0).

(1)填空:c=

(用含 b 的式子表示).

(2)b<4.

①求证:抛物线与 x 轴有两个交点;

②设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B,当线段 AB 上恰有 5 个整点(横坐标、纵坐标都是

整数的点),直接写出 b 的取值范围



(3)直线 y=x﹣4 经过抛物线 y=x2+bx+c 的顶点 P,求抛物线的表达式.

26.(7 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的角*分线.

(1)以 AB 上一点 O 为圆心,AD 为弦作⊙O;

(2)求证:BC 为⊙O 的切线;

(3)如果 AC=3,tanB= ,求⊙O 的半径.

27.(8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,CD⊥AB 于 D,P 是线段

CD 上一个动点,以 P 为直角顶点向下作等腰 Rt△BPE,连接 AE、DE. (1)∠BAE 的度数是否为定值?若是,求出∠BAE 的度数;若不是,说明理由. (2)直接写出 DE 的最小值.

28.(8 分)定义:在*面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标

x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为

图形 G 的“特征值”.

(1)①点 A(1,3)的“坐标差”为



②抛物线 y=﹣x2+3x+3 的“特征值”为



(2)某二次函数 y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1,点 B(m,0)与点 C 分别

是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等.

①直接写出 m=

;(用含 c 的式子表示)

②求此二次函数的表达式.

(3)如图,在*面直角坐标系 xOy 中,以 M(2,3)为圆心,2 为半径的圆与直线 y=x

相交于点 D、E,请直接写出⊙M 的“特征值”为



2019-2020 学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 2 分,共 16 分) 1.已知点(﹣1,2)在二次函数 y=ax2 的图象上,那么 a 的值是( )

A.1

B.2

C.

D.﹣

【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于 a 的方程,可求得 a 的值. 【解答】解: ∵点(﹣1,2)在二次函数 y=ax2 的图象上, ∴2=a×(﹣1)2,解得 a=2, 故选:B. 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征,掌握函数图象上点的坐标满足函
数解析式是解题的关键. 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,那么 sinA 的值为( )

A.

B.

C.

D.1

【分析】根据正弦的定义列式计算即可. 【解答】解:∵∠C=90°,AB=2BC,

∴sinA= = ,

故选:A. 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜
边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 3.如图,在△ABC 中,M、N 分别为 AC、BC 的中点,若 S△CMN=1,则 S△ABC 为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【分析】由 M、N 分别为 AC、BC 的中点可得出 MN∥AB、AB=2MN,进而可得出△ABC

∽△MNC,根据相似三角形的性质结合 S△CMN=1,即可求出 S△ABC 的值. 【解答】解:∵M、N 分别为 AC、BC 的中点,

∴MN∥AB,且 AB=2MN,

∴△ABC∽△MNC,



=( )2=4,

∴S△ABC=4S△CMN=4. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理,根据三角形中位
线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC 是解题的关键. 4.如图,在高 2m,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要( )

A.2 m

B.(2+2 )m C.4m

D.(4+2 )m

【分析】由题意得,地毯的总长度至少为(AC+BC).在△ABC 中已知一边和一个锐角,

满足解直角三角形的条件,可求出 AC 的长,进而求得地毯的长度.

【解答】解:如图,

由题意得:地毯的竖直的线段加起来等于 BC,水*的线段相加正好等于 AC, 即地毯的总长度至少为(AC+BC), 在 Rt△ABC 中,∠A=30°,BC=2m,∠C=90°. ∵tanA= , ∴AC=BC÷tan30°=2 .

∴AC+BC=2 +2. 故选:B. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的
和是直角△ABC 的直角边的和. 5.如图,点 P 在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,PA⊥x 轴于点 A,△PAO 的面积为
2,则 k 的值为( )

A.1

B.2

C.4

D.6

【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义可知,△PAO 的面积= |k|,再根据图象所

在象限求出 k 的值既可.

【解答】解:依据比例系数 k 的几何意义可得,△PAO 的面积= |k|,

即 |k|=2, 解得,k=±4, 由于函数图象位于第一、三象限, 故 k=4, 故选:C. 【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义,即图象上的点与原点所连的

线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k|. 6.如图,在△ABC 中,∠ACD=∠B,若 AD=2,BD=3,则 AC 的长为( )

A.

B.2

C.

D.6

【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出 AC:AB=AD:AC,即 AC2=AB?AD,将

数值代入计算即可求出 AC 的长.

【解答】解:在△ADC 和△ACB 中,

∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,

∴△ADC∽△ACB(两角对应相等,两三角形相似);

∴AC:AB=AD:AC,

∴AC2=AB?AD,

∵AD=2,AB=AD+BD=2+3=5,

∴AC2=5×2=10,

∴AC= .

故选:A.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质,用到的知识点为:

①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似

(简叙为两角对应相等,两三角形相似);

②相似三角形的对应边成比例.

7.如图,在⊙O 中, = ,∠AOB=50°,则∠ADC 的度数是( )

A.50°

B.40°

C.30°

D.25°

【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°,再由圆周角定理即可得出结论.

【解答】解:
∵在⊙O 中, = , ∴∠AOC=∠AOB, ∵∠AOB=50°, ∴∠AOC=50°, ∴∠ADC= ∠AOC=25°, 故选:D. 【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相
等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键. 8.小明以二次函数 y=2x2﹣4x+8 的图象为灵感为“2017 北京?房山国际葡萄酒大赛”设
计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE 为( )

A.14

B.11

C.6

D.3

【分析】首先由 y=2x2﹣4x+8 求出 D 点的坐标为(1,6),然后根据 AB=4,可知 B 点的

横坐标为 x=3,代入 y=2x2﹣4x+8,得到 y=14,所以 CD=14﹣6=8,又 DE=3,所以可

知杯子高度.

【解答】解:∵y=2x2﹣4x+8=2(x﹣1)2+6,

∴抛物线顶点 D 的坐标为(1,6),

∵AB=4,

∴B 点的横坐标为 x=3,

把 x=3 代入 y=2x2﹣4x+8,得到 y=14,

∴CD=14﹣6=8, ∴CE=CD+DE=8+3=11. 故选:B. 【点评】本题主要考查了二次函数的应用,求出顶点 D 和点 B 的坐标是解决问题的关键.
二、填空题(每小题 2 分,共 16 分) 9.请写出一个开口向下,并且与 y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式 y=﹣x2+1(答
案不唯一) . 【分析】根据二次函数的性质,抛物线开口向下 a<0,然后写出即可. 【解答】解:抛物线解析式为 y=﹣x2+1(答案不唯一). 故答案为:y=﹣x2+1(答案不唯一). 【点评】本题考查了二次函数的性质,开放型题目,主要利用了抛物线的开口方向与二
次项系数 a 的关系. 10.如图所示,圆 O 的半径为 5,AB 为弦,OC⊥AB,垂足为 E,如果 CE=2,那么 AB
的长是 8 .
【分析】如图,连接 OA;首先求出 OE 的长度;借助勾股定理求出 AE 的长度,即可解 决问题.
【解答】 解:如图,连接 OA; OE=OC﹣CE=5﹣2=3; ∵OC⊥AB, ∴AE=BE; 由勾股定理得:AE2=OA2﹣OE2, ∵OA=5,OE=3, ∴AE=4,AB=2AE=8.

故答案为 8.
【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题;作辅助线,构造直角三角 形,灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键.
11.如图 1,西沙河属马刨泉河支流,发源于房山区城关街道迎风坡村,流域面积 11 * 方公里,为估算西沙河某段的宽度,如图 2,在河岸边选定一个目标点 A,在对岸取 点 B、C、D,使得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A、E、D 在同一条直 线上,若测得 BE=2m,EC=1m,CD=3m,则河的宽度 AB 等于 6 m.

【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得两岸间的大致距 离 AB.
【解答】解:∵AB⊥BC,CD⊥BC, ∴△BAE∽△CDE,





∵BE=2m,CE=1m,CD=3m,





解得:AB=6 故答案为:6; 【点评】考查相似三角形的应用;用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;相
似三角形的对应边成比例.

12.如图,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(﹣2,4),B(1,1), 则关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为 x1=﹣2,x2=1 .

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组

的解为



,于是易得关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解.

【解答】解:∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(﹣2,4),B(1, 1),

∴方程组

的解为





即关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为 x1=﹣2,x2=1. 故答案为 x1=﹣2,x2=1. 【点评】本题考查了二次函数的性质:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ ,

),对称轴直线 x=﹣ .也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题. 13.如图,“吃豆小人”是一个经典的游戏形象,它的形状是一个扇形,若开口∠1=60°,
半径为 ,则这个“吃豆小人”(阴影图形)的面积为 5π .

【分析】根据扇形的面积公式代入,再求出即可.

【解答】解:由扇形面积公式得:S=

π,

故答案为:5π; 【点评】本题考查了扇形面积公式的应用,注意:圆心角为 n°,半径为 r 的扇形的面积

为 S=



14.如图,每个小正方形的边长为 1,A、B、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的正弦值





【分析】首先利用勾股定理计算出 AB2,BC2,AC2,再根据勾股定理逆定理可证明∠ BCA=90°,然后得到∠ABC 的度数,再利用特殊角的三角函数可得∠ABC 的正弦值.
【解答】解:AB2=32+12=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5, ∴AC=CB,BC2+AC2=AB2, ∴∠BCA=90°, ∴∠ABC=45°,
∴∠ABC 的正弦值为 .

故答案为: .

【点评】此题主要考查了锐角三角函数,以及勾股定理逆定理,关键是掌握特殊角的三 角函数.
15.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为

x1=

,x2=

,则此二次函数图象的对称轴为 直线

x=﹣2 . 【分析】,根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直

线 x= (x1+x2),代入求出即可. 【解答】解:∵二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为

x1=

,x2=



∴此二次函数图象的对称轴是直线 x= (x1+x2)=﹣2,

故答案为:直线 x=﹣2. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点和二次函数的性质,能熟记二次函数的性质是
解此题的关键,注意:两交点关于对称轴对称. 16.下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程. 已知:⊙O. 求作:⊙O 的内接正方形. 作法:如图. (1)过圆心 O 作直线 AC,与⊙O 相交于 A、C 两点; (2)过点 O 作直线 BD⊥AC,交⊙O 于 B、D 两点; (3)连接 AB、BC、CD、DA. ∴四边形 ABCD 为所求. 请回答:该尺规作图的依据是 相等的圆周角所对的弦相等,直径所对圆周角为直角
(写出两条).
【分析】由 AC、BD 为直径且 AC⊥BD 知 AB=BC=CD=DA,其依据为相等的圆周角所 对的弦相等;再由 AC 为直径可知∠ABC=90°,其依据为“直径所对圆周角为直角”, 由正方形的判定即可得.
【解答】解:过圆心 O 作直线 AC,与⊙O 相交于 A、C 两点, 则 AC 为⊙O 的直径, 过点 O 作直线 BD⊥AC,交⊙O 于 B、D 两点, ∴BD 也是⊙O 的直径,且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°, ∴AB=BC=CD=DA(相等的圆周角所对的弦相等),

由 AC 为直径可知∠ABC=90°(直径所对圆周角为直角), 则四边形 ABCD 为正方形(有一内角为直角的菱形是正方形), 故答案为:相等的圆周角所对的弦相等,直径所对圆周角为直角. 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图,解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定
理及正方形的判定.

三、解答题(本题共 68 分) 17.(5 分)计算: tan30°﹣cos60°+sin45°. 【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简 2 个考点.在计算时,需要针对
每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:原式= × ﹣ +

=+ .

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决

此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算. 18.(5 分)下表是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分 x、y 的对应值:

x … ﹣1 ﹣

0

1

2

3…

y …m

﹣1 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1

2…

(1)二次函数图象的顶点坐标是 (1,﹣2) ; (2)当抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时,n 的取值范围是 n>﹣3 . 【分析】(1)由表中所给 x、y 的对应值,可求得二次函数解析式,可求得抛物线的顶点
坐标. (2)在 y=x+n 中,令 x=1 代入,结合条件可得到关于 n 的不等式,可求得 n 的取值范
围. 【解答】解:(1)把点(0,﹣1),(1,﹣2)和(2,﹣1)代入二次函数解析式可得

,解得



∴二次函数解析式为 y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2, ∴二次函数图象开口向上,顶点坐标为(1,﹣2), (2)在 y=x+n 中,令 x=1 代入可得 y=1+n, ∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在直线 y=x+n 的下方时, ∴1+n>﹣2,解得 n>﹣3, 故答案为:(1)(1,﹣2),(2)n>﹣3 【点评】本题主要考查二次函数的性质,利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的
关键. 19.(5 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=∠BDC. (1)求证:△ABD∽△DCB; (2)若 AB=12,AD=8,CD=15,求 DB 的长.
【分析】(1)根据*行线的性质,可得∠ADB 与∠DBC 的关系,根据两个角对应相等的 两个三角形相似,可得答案;
(2)根据相似三角形的性质,可得答案. 【解答】(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC. ∵∠A=∠BDC, ∴△ABD∽△DCB; (2)∵△ABD∽△DCB,AB=12,AD=8,CD=15, ∴ = ,即 = , 解得 DB=10, DB 的长 10. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了两个角对应相等的两个三角形相
似,利用相似三角形的对应边成比例是解题关键.

20.(5 分)如图,是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象. (1)结合图象信息,求此二次函数的表达式; (2)当 y>0 时,直接写出 x 的取值范围: x<﹣1 或 x>3 .
【分析】(1)根据顶点坐标设 y=a(x﹣1)2﹣4,利用待定系数法即可解决问题; (2)观察图象写出图象在 x 轴上方的图象的自变量的取值范围即可; 【解答】解:(1)∵顶点坐标(1,﹣4) ∴设 y=a(x﹣1)2﹣4, 将(﹣1,0)代入 y=a(x﹣1)2﹣4,得 4a﹣4=0 解得,a=1, ∴二次函数表达式 y=(x﹣1)2﹣4, (2)观察图象可知当 y>0 时,的取值范围 x<﹣1 或 x>3. 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识,解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 21.(5 分)如图,已知⊙O 中,AB 为直径,AB=10cm,弦 AC=6cm,∠ACB 的*分线
交⊙O 于 D,求线段 BC,AD,BD 的长.
【分析】由在⊙O 中,直径 AB 的长为 10cm,弦 AC=6cm,利用勾股定理,即可求得 BC

的长,又由∠ACB 的*分线 CD 交⊙O 于点 D,可得△ABD 是等腰直角三角形,继而

求得 AD、BD 的长;

【解答】解:∵AB 是⊙O 的直径,

∴∠ACB=∠ADB=90°,

∵AB=10cm,AC=6cm,

∴BC=

=8(cm),

∵∠ACB 的*分线 CD 交⊙O 于点 D,

∴=,

∴AD=BD,

∴∠BAD=∠ABD=45°,

∴AD=BD=AB?cos45°=10× =5 (cm).

【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想 的应用.

22.(5 分)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,BC=8,D 是 AB 中点,过点 B 作

直线 CD 的垂线,垂足为点 E. (1)求线段 CD 的长; (2)求 cos∠ABE 的值.

【分析】(1)在△ABC 中根据正弦的定义得到 sinA= = ,则可计算出 AB=10,然后根 据直角三角形斜边上的中线性质即可得到 CD= AB=5;
(2)在 Rt△ABC 中先利用勾股定理计算出 AC=6,在根据三角形面积公式得到 S△BDC=S △ADC,则 S△BDC= S△ABC,即 CD?BE= ? AC?BC,于是可计算出 BE= ,然后在 Rt

△BDE 中利用余弦的定义求解. 【解答】解:(1)在△ABC 中,∵∠ACB=90°,

∴sinA= = ,

而 BC=8, ∴AB=10, ∵D 是 AB 中点,

∴CD= AB=5;

(2)在 Rt△ABC 中,∵AB=10,BC=8,

∴AC=

=6,

∵D 是 AB 中点,

∴BD=5,S△BDC=S△ADC,

∴S△BDC= S△ABC,即 CD?BE= ? AC?BC,

∴BE= = ,

在 Rt△BDE 中,cos∠DBE= = = ,

即 cos∠ABE 的值为 . 【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就
是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式. 23.(5 分)反比例函数 y= (k≠0)与一次函数 y=﹣x+5 的一个交点是 A(1,n).
(1)求反比例函数 y= (k≠0)的表达式; (2)当一次函数的函数值大于反比例函数值时,直接写出自变量 x 的取值范围为 x<0
或 1<x<4 . 【分析】(1)将 A(1,n)代入 y=﹣x+5,求出 n=4.将 A(1,4)代入 y= ,利用待定
系数法即可求出反比例函数的表达式; (2)当一次函数的函数值大于反比例函数值时,即一次函数的图象在反比例函数的图象

上方时,x 的取值范围. 【解答】解:(1)将 A(1,n)代入 y=﹣x+5, 得,n=﹣1+5=4. 将 A(1,4)代入 y= 中, 得,k=1×4=4, 故反比例函数的表达式为 y= ;
(2)当 x<0 或 1<x<4 时,反比例函数的值大于一次函数的值. 故答案为 x<0 或 1<x<4. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的
解析式,根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键. 24.(5 分)中国高铁*年来用震惊世界的速度不断发展,已成为当代中国一张耀眼的“国
家名片”,修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥,如图,某高铁在修建时需打通一 直线隧道 MN(M、N 为山的两侧),工程人员为了计算 M、N 两点之间的直线距离, 选择了在测量点 A、B、C 进行测量,点 B、C 分别在 AM、AN 上,现测得 AM=1200 米,AN=2000 米,AB=30 米,BC=45 米,AC=18 米,求直线隧道 MN 的长.

【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM,再利用相似三角形的性质解答 即可.

【解答】解:∵







又∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ANM,





∵BC=45 ∴MN=3000, 答:直线隧道 MN 长为 3000 米. 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质;熟记相似三角形的判定方法是解决问题
的关键. 25.(5 分)已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣2,0). (1)填空:c= 2b﹣4 (用含 b 的式子表示). (2)b<4. ①求证:抛物线与 x 轴有两个交点; ②设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B,当线段 AB 上恰有 5 个整点(横坐标、纵坐标都是
整数的点),直接写出 b 的取值范围 ﹣1<b≤0 ; (3)直线 y=x﹣4 经过抛物线 y=x2+bx+c 的顶点 P,求抛物线的表达式. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题; (2)①只要证明△>0 即可; ②构建不等式即可解决问题; (3)利用配方法求出顶点坐标,再代入直线的解析式,转化为方程即可解决问题; 【解答】解:(1)∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(﹣2,0) ∴0=4﹣2b+c, ∴c=2b﹣4, 故答案为 2b﹣4

(2)当 b<4 时 ①△=b2﹣4?1?c=b2﹣4(2b﹣4)=(b﹣4)2,

∵b<4 ∴(b﹣4)2>0 即△>0, ∴当 b<4 时,抛物线与 x 轴有两个交点. ②由题意:﹣ <﹣ ≤﹣4 或 0≤﹣ < , 解得:8≤b<9 或﹣1<b≤0, ∵b<4, ∴﹣1<b≤0, 故答案为﹣1<b≤0. (3)由 y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=(x+ )2﹣( ﹣2)2, ∴顶点 P[﹣ ,﹣( ﹣2)2]. 将其代入 y=x﹣4 中,得, ﹣( ﹣2)2=﹣ ﹣4 解得,b=0 或 10. ∴抛物线的表达式为 y=x2﹣4 或 y=x2+10x+16. 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识,解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 26.(7 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的角*分线. (1)以 AB 上一点 O 为圆心,AD 为弦作⊙O; (2)求证:BC 为⊙O 的切线; (3)如果 AC=3,tanB= ,求⊙O 的半径.
【分析】(1)因为 AD 是弦,所以圆心 O 即在 AB 上,也在 AD 的垂直*分线上; (2)因为 D 在圆上,所以只要能证明 OD⊥BC 就说明 BC 为⊙O 的切线;

(3)根据∠B 的正切值,先求出 BC、AB 的值,再结合三角形相似就可求出圆的半径的 长.
【解答】解:(1)如图所示,…2′ (2)连接 OD, ∵AD *分∠CAB, ∴∠CAD=∠BAD, 又∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC,…3′ ∴∠ODB=∠C=90°, 又∵OD 为半径, ∴BC 是⊙O 的切线.…4′

(3)∵AC=3,tanB= ,

∴BC=4, ∴AB=5,…5′, 设⊙O 的半径为 r,则 OA=OD=r,BO=5﹣r, ∵OD∥AC, ∴△BOD∽△BAC,







,…6′,

解得,r= ,…7′

∴⊙O 的半径为 .

【点评】本题综合考查了切线的判定,解直角三角形和相似三角形的性质的应用,还考 查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力,本题中作图的理论依据是垂径定理.
27.(8 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,CD⊥AB 于 D,P 是线段 CD 上一个动点,以 P 为直角顶点向下作等腰 Rt△BPE,连接 AE、DE.
(1)∠BAE 的度数是否为定值?若是,求出∠BAE 的度数;若不是,说明理由. (2)直接写出 DE 的最小值.

【分析】(1)根据相似三角形的性质得到

,且∠CBP=∠ABE,∠BCP=∠BAE,

根据等腰直角三角形的性质即可得到结论. (2)当 DE⊥AE 时,DE 的有最小值,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)∠BAE 的度数为定值, ∵△ABC 和△EBP 均为等腰直角三角形, ∴△ABC∽△EBP,且∠ABC=∠EBP=45°,



,且∠CBP=∠ABE,

∴△CBP∽△ABE, ∴∠BCP=∠BAE, ∵CA=CB,∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠BCP=45°, ∴∠BAE=∠BCP=45°; (2)当 DE⊥AE 时,DE 的有最小值,

∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4, ∴AD= AB=2 , ∵∠DAE=45°, ∴△ADE 是等腰直角三角形, ∴DE=2, ∴DE 的最小值是 2. 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,相似三角形的性质,熟练掌握等腰直角三
角形的性质是解题的关键. 28.(8 分)定义:在*面直角坐标系中,图形 G 上点 P(x,y)的纵坐标 y 与其横坐标
x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”,而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为 图形 G 的“特征值”. (1)①点 A(1,3)的“坐标差”为 2 ; ②抛物线 y=﹣x2+3x+3 的“特征值”为 4 ; (2)某二次函数 y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1,点 B(m,0)与点 C 分别 是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等. ①直接写出 m= ﹣c ;(用含 c 的式子表示) ②求此二次函数的表达式. (3)如图,在*面直角坐标系 xOy 中,以 M(2,3)为圆心,2 为半径的圆与直线 y=x 相交于点 D、E,请直接写出⊙M 的“特征值”为 1+2 .
【分析】(1)①②根据“坐标差”,“特征值”的定义计算即可; (2)因为点 B 与点 C 的“坐标差”相等,推出 B(﹣c,0),把(﹣c,0)代入 y=﹣x2+bx+c,
得到:0=﹣c2﹣bc+c,推出 c=1﹣b,因为二次函数 y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”

为﹣1,所以 y﹣x=﹣x2+(b﹣1)x+1﹣b 的最大值为﹣1,可得

=﹣1,

解得 b=3,由此即可解决问题; (3)如图,设 M(2,3),作 M⊥x 轴于 K,交⊙M 于 N,MJ⊥y 轴于 J,作∠JMN 的*
分线交⊙M 于 T,观察图象,根据“特征值”的定义,可知点 T 的“坐标差”的值最 大. 【解答】解:(1)①点 A(1,3)的“坐标差”为=3﹣1=2, 故答案为 2;

②设 P(x,y)为抛物线 y=﹣x2+3x+3 上一点, 坐标差=﹣x2+2x+3,=﹣(x﹣1)2+4,最大值为 4, 所以抛物线 y=﹣x2+3x+3 的“特征值”为 4 故答案为 4.

(2)①由题意:0﹣m=c﹣0,可得 m=﹣c. ②∵C(0,c), 又∵点 B 与点 C 的“坐标差”相等, ∴B(﹣c,0), 把(﹣c,0)代入 y=﹣x2+bx+c,得到:0=﹣c2﹣bc+c, ∴c=1﹣b, ∵二次函数 y=﹣x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为﹣1 所以 y﹣x=﹣x2+(b﹣1)x+1﹣b 的最大值为﹣1,



=﹣1,

解得 b=3, ∴c=﹣2, ∴二次函数的解析式为 y=﹣x2+3x﹣2. 故答案为﹣c.

(3)如图,设 M(2,3),作 M⊥x 轴于 K,交⊙M 于 N,MJ⊥y 轴于 J,作∠JMN 的* 分线交⊙M 于 T,观察图象,根据“特征值”的定义,可知点 T 的“坐标差”的值最 大.
作 TF⊥x 轴于 E 交 MJ 于 F. 易知△TMF 是等腰直角三角形, ∵TF=FM= ,EF=KM=3,EK=FK=M= , ∴OE=OK﹣EK=2﹣ ,TE=3+ , 半径为 2 的圆的“特征值”为 3+ ﹣(2﹣ )=1+2 . 故答案为 1+2 . 【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”,“特征值”的定义、圆的有关知识,
解题的关键是理解题意,学会利用参数解决问题,学会构建函数解决最值问题,属于 中考压轴题.


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