初中数学教学论文 浅析数学思想方法在中考命题的渗透 人教新课标版

发布于:2021-07-26 05:46:21

浅析数学思想方法在中考命题的渗透
内容摘要:掌握数学思想方法是提高学生数学素质的必要条件。 《义务教育初中数学教学大纲》 已经把数学思想方法列为数学基础知识,*年来中考命题趋向于数学思想方法的应用。初中数学教 师应增强数学思想方法的教学意识,在教学过程中渗透数学思想方法内容,在定理和公式的探求中 挖掘数学思想方法,在问题解决过程中强化数学思想方法,并及时总结以逐步内化数学思想方法。 关键词:数学思想方法 中考命题 渗透 挖掘 强化 内化

数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和 本质的认识,是人们对数学的观念系统的认识。数学教学中必须重视思想方法的教学,其理由是显 而易见的。 数学思想方法是数学的精髓,也是知识转化的桥梁,用数学思想方法去沟通知识间的内在联系, 可以对重点知识的本质及规律有深刻的认识,数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是数学 知识的重要组成部分,它的应用可以避免解题中的计算、形成演绎的盲目性,掌握数学思想方法 可 以提高解题能力。 *年来中考命题类型趋向于的数学思想方法主要有:函数和方程、化归、分类、数形结合等。 数学思想方法也是历年中考的必考内容。 一、 方程和函数思想

把研究数学问题中的已知量与未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型,从而 是问题得到解决的方法就是方程思想。一般主要有列方程(组)解应用题和解代数题或几何题,解 题时要建立正确的方程模型,以便使问题得到解决。 例 1:(2010·烟台)去冬今春,我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾。解放军某部接到了限 期打 30 口井的作业任务。部队官兵到达灾区后,目睹灾情,心急如焚,他们增派机械车辆,争分夺 秒,每天比原计划多打 3 口井,结果提前 5 天完成任务。求原计划每天打多少口井? 解析:列方程(组)解应用题必须弄清题意,设好未知数,并且找出等量关系列出方程(组). 解:设原计划每天打 x 口井,依题意可得:

30 30 ? =5 x x+3
去分母得, 30( x + 3) ? 30 x = 5 x ( x + 3) , 整理得, x
2

+ 3 x ? 18 = 0
用心 爱心 专心 1

解得: x1 = 3, x2 = ?6(不合题意, 舍去) 经检验: x = 3是方程的根. 答:原计划每天打 3 口井. 把变化过程中的一些制约变量用函数关系表达出来,用函数的概念、图像和性质去分析问题和 解决问题就是函数思想,确立函数关系是解决问题的关键。 例 2:(2010·武汉)某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天 l80 元时,房间 会全部住满.当每个房间每天的房价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每 个房间每天支出 20 元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于 340 元.设每个房间的 房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍). (1) 设一天订住的房间数为 y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2) 设宾馆一天的利润为 w 元,求 w 与 x 的函数关系式; (3) 一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?

1 x (0 ≤ x ≤ 160, 且x是10的整数倍 ); 10 1 1 (2)W=(50x )(180+x-20)=- x 2 + 34 x + 8000 ; 10 10 2 1 2 1 (3) W=x + 34 x + 8000 =- ( x ? 170 ) +10890,当 x ≤ 170 时,W 随 x 的增大而增 10 10 1 大,但 0≤x≤160.∴当 x=160 时, w最大 = 10880 .当 x=160 时,y=50x =34. 10
解析: (1)y=50答:一天订住 34 个房间时,宾馆的利润最大,最大利润是 10880 元. 二、 分类讨论思想

分类讨论思想是对所求结论进行分类讨论、逐类求解,然后综合得解的思想方法,解题思路是: 正确确定分类讨论的对象,对讨论对象合理分类、逐类讨论、归纳总结。 例 3: (2006·湖北宜昌)函数 y = 能是( ).

m 与 y = mx ? m( m ≠ 0) 在同一*面直角坐标系中的图像可 x

A

B

C

D

用心

爱心

专心

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解:当 m>0 时,函数 y =

m 与 y = mx ? m( m ≠ 0) 在同一*面直角坐标系中的图像如图 1; x

图1

图2

当 m<0 时,函数 y = 述四个选项,本题应选 C.

m 与 y = mx ? m( m ≠ 0) 在同一*面直角坐标系中的图像如图 2.对比上 x

说明:本题的函数表达式中的 m 有 m>0 或 m<0 两种情况。对 m 进行分类讨论,并根据一次函 数、反比例函数的图象和性质,绘制相应草图即可解答. 三、 化归思想

化归思想,就是在研究和解决有关数学问题是采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而达 到解决的一种方法。一般是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难解的问题转化为容易求 解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题。 例 4: (2006·北京)已知 2x-3=0.求代数式 x( x 2 ? x) + x 2 (5 ? x) ? 9 的值. 分析:本题从未知向已知的转化可以至少从两个思路着手. 解 1:∵2x-3=0,∴x=

3 2

当 x=

3 3? 3 2 3 3 ? 3 时,原式= × ?( ) 2 ? ? + ( ) × (5 ? ) -9 2 2 ? 2 2? 2 2
=0.

解 2:∵ x( x 2 ? x) + _ x 2 (5 ? x) ? 9 = x3 ? x 2 + 5 x 2 ? x 3 ? 9 = 4 x 2 ? 9 = ( 2 x + 3)(2 x ? 3) 又 2 x ? 3 = 0 ,∴原式=0. 四、 数形结合思想

数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,对揭示其几 何直观,使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结 合,寻找解题思路,使问题化难为易,化繁为简,从而得到解决。要注意:一是彻底明白一些概念 和运算的几何意义以及图形的代数特征;二是恰当设参、合理用参、建立关系,由数思形,以形想
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数,做好数形转化;三是正确确定参数的取值范围。 例 5: (2010·天津)如图,是一种古代计时器——“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水, 水从壶下的小孔漏出,壶壁内画出刻度,人们根据壶中水面的位置计算时间.若用 x 表示时间, y 表 示壶底到水面的高度,下面的图象适合表示一小段时间内 y 与 x 的函数关系的是(不考虑水量变化 对压力的影响) ( y ) y

O A y

x

O B y

x

O C

x

O D

x

解析:本题考查函数及其图象的应用,此“漏壶”为圆柱形,所以单位时间内漏的水量相等, 应当为一次函数类型,又由于随时间的增加水的高度应当减小,故选 B. 例 6: (2009·广东)正方形 ABCD 边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的 两个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直. (1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设 BM=x,梯形 ABCN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 的面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时 x 的值. 分析: (1)要证三角形 ABM 和 MCN 相似,就需找出两组对应相等的角,已知了这两个三角形中 一组对应角为直角,而∠BAM 和∠NMC 都是∠AMB 的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角 形相似. (2)根据(1)的相似三角形,可得出 AB,BM,MC,NC 的比例关系式,已知了 AB=4,BM=x,可用 BC 和 BM 的长表示出 CM,然后根据比例关系式求出 CN 的表达式.这样直角梯形的上下底和高都已得 出,可根据梯形的面积公式得出关于 y,x 的函数关系式.然后可根据函数的性质得出 y 的最大值即 四边形 ABCN 的面积的最大值,以及此时对应的 x 的值,也就可得出 BM 的长.
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(3)已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM 和∠AMN,如果要想使 Rt△ABM∽Rt△AMN,那么 两组直角边就应该对应成比例,即

AM AB AM AB = = ,根据(1)的相似三角形可得出 ,因 MN BM MN MC

此 BM=MC,M 是 BC 的中点.即 x=2. 解:证明: (1)在正方形 ABCD 中,AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°, ∵AM⊥MN, ∴∠AMN=90°, ∴∠CMN+∠AMB=90°. 在 Rt△ABM 中,∠MAB+∠AMB=90°, ∴∠CMN=∠MAB, ∴Rt△ABM∽Rt△MCN. (2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN, ∴

AB BM 4 x ,即 = , = MC CN 4 ? x CN

∴ CN =

? x2 + 4 x , 4 1 ? x2 + 4 x + 4) ? 4 ( 2 4

∴ y = s梯形ABCN =

=?

1 2 x + 2x + 8 2 1 = ? ( x ? 2) 2 + 10 2

当 x=2 时,y 取最大值,最大值为 10. (3)∵∠B=∠AMN=90°, ∴要使△ABM∽△AMN,必须有

AM AB = , MN BM

由(1)知 ∴BM=MC,

AM AB = , MN MC

∴当点 M 运动到 BC 的中点时,△ABM∽△AMN,此时 x=2. 说明:本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用,根据相似三角形得 出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键.

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综观*几年的中考试题,侧重参透数学思想方法,尤其是压轴题,考查学生是否会运用数学思 想方法分析问题和解决问题。所以,在数学教学中,切实把握好上述几个典型的数学思想方法,同 时注重渗透的过程,依据课本内容和学生的认识水*,有计划有步骤地渗透,使其成为由知识转化 为能力的纽带,成为提高学生的学*效率和数学能力的法宝。

参考文献 【1】朱淑贞; 初中数学思想方法教学的意义及策略[J]; 湖南教育; 2003 年 07 期; 47-48 【2】宁春芳; 初中数学思想方法例举[J]; 山西教育; 2004 年 02 期; 35-36 【3】钱佩玲:《数学思想方法与中学数学》,北师大出版社,2000 年

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